Grundideen der Mathematik

von Hanna Vock

Ist Mathematik mehr als der Umgang mit Zahlen? Ja. Müssen Kinder zuerst Zahlen lesen und schreiben können, um dann mit Mathematik beginnen zu können? Nein. Kann im Kindergarten mehr passieren als Zählen lernen? Ja.

Und es passiert auch ganz viel mehr, auch wenn es den Beteiligten oft nicht bewusst ist.

Dr. Dr. Gert Mittring, mehrfacher Rechenweltmeister, Informatiker, Pädagoge und Psychologe aus Bonn, machte mich vor Jahren auf eine Zusammenstellung im Internet aufmerksam, in der Prof. Winter aus Aachen die „Grundideen der Mathematik“ zusammengestellt hatte. Seitdem werden diese Grundideen in den IHVO-Zertifikatskursen besprochen.

Mathematik ist eine besonders abstrakte Wissenschaft – das ist für Viele zum Fürchten, für viele hoch begabte Kinder liegt aber gerade darin die Faszination. Viele hoch begabte Kinder sind sehr früh zum Abstrahieren vom Konkreten fähig und lieben es, hinter (?) der konkreten Welt abstrakte Zusammenhänge zu entdecken.

(Siehe auch die Beiträge Mathematische Begabungsförderung im Kindergarten und Spielerische Mathematik im Kindergarten und Weitere Projekte zur Mathematik und Erzieherinnen unterstützen Kinder beim Rechnen lernen.)

Da haben wir zuerst die

1) Symmetrie.

Symmetrien zu erkennen ist wichtig, um Mathematik zu betreiben.

Es gibt die Klapp-Symmetrie und die Dreh-Symmetrie.

Im Prinzip (die Natur ist hier nicht pedantisch) ist ein Schmetterling klapp-symmetrisch. Die (gedachte) Klapp-Achse verläuft vom Kopf bis zum Hinterteil längs durch seinen Leib. Schön, dass er das „Klappen“ mit seinen Flügeln sogar immer schön vorführt!

Mit Klecksbildern stellen wir im Kindergarten klapp-symmetrische Bilder her.

Wir können aber auch mit einem Spiegel beliebiger Größe Klapp-Symmetrien herstellen oder auch die (eventuell vorhandene) Klapp-Achse bei Bildern suchen. Die Kinder machen dabei die Erfahrung, dass man zwar zu jedem Bild ein klapp-symmetrisches herstellen kann, dass aber beileibe nicht jedes Bild von sich aus eine Klapp-Achse hat.

Nun gibt es Kinder, die dies nicht interessiert oder gar vom Hocker wirft – mathematisch interessierte und besonders begabte aber schon. Manche von ihnen experimentieren und suchen dann mit erstaunlicher Ausdauer nach immer neuen Klapp-Symmetrien, anderen genügt es, das Prinzip, das Phänomen Klapp-Symmetrie erkannt und begriffen zu haben.

Viele haben es schon längst von selbst erfasst, manche können auch ausdrücken, worum es dabei geht.

Indem ich als Erzieherin mit dem Kind über diese mathematischen Phänomene spreche, wird klar, dass wir ähnliche Interessen haben – ich werde zum interessanten Gesprächspartner für das mathematisch begabte Kind, die beste Grundlage für Förderung: Sobald wir in einen „Fachdialog“ eingetreten sind, kann mir das Kind seine Fragen und Ideen anvertrauen, und ich kann mich davon leiten lassen.

Siehe auch: Kommunikation im Kindergarten.

Dreh-Symmetrie findet sich in wunderbarer Weise in Mandalas. Denn Dreh-Symmetrie ist ihr Erzeugungsprinzip. Indem Kinder Mandalas malen, erfassen sie die intuitiv die darin enthaltenen Dreh-Symmetrien. Sind jetzt mathematisch besonders begabte Kinder daran zu erkennen, dass sie gern Mandalas malen? Überhaupt nicht – es sei denn, man erwischt genau den schmalen Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten: Dem Zeitpunkt, an dem sie geistig so weit sind, dass sie das Prinzip erkennen können, und dem Zeitpunkt, in dem sie es sicher begriffen haben. Diese Zeitspanne ist auf Grund der besonderen und vielleicht sogar hohen mathematischen Begabung aber naturgemäß sehr kurz.

Und was ich sicher weiß – warum soll ich mich ausdauernd damit beschäftigen? Schließlich bin ich auf der Welt, um Neues zu lernen.

Obwohl in Mandalas also viel Mathematik steckt, ist das Ausmalen für hoch begabte Kinder selten spannend – eher könnte es sie interessieren, wie man selbst ein Mandala konstruieren kann. Aber Vorsicht, es interessiert dann oft weniger die künstlerische Ausführung als vielmehr das Symmetrie-Prinzip.

Kinder entdecken und experimentieren auch mit Symmetrien, wenn sie plötzlich symmetrische Bauwerke bauen oder wenn sie Perlen auffädeln. Hier kann man Klapp- und Drehsymmetrie toll kombinieren:

Wenn ein hoch begabtes Kind mit zwei Jahren umfangreiche symmetrische Bauwerke aus farbigen Bauklötzen erstellt hat – und sich damit das Problem der Klappsymmetrie erarbeitet hat, dann ist das Interesse am symmetrischen Perlenauffädeln mit vier oder fünf Jahren aber kaum noch zu erwarten, oder es ist nur flüchtig. Es sei denn das Kind findet es verlockend, mit anderen Kindern, die das Gleiche tun, zusammen zu sitzen und gemütlich zu schwatzen. Aber die Symmetrie ist dann keine neue Entdeckung für das Kind (d. h. wir können in unserem Kopf für dieses Kind kein Häkchen bei „kognitive Förderung“ machen).

Kinder erfahren Symmetrie auch am eigenen Körper, indem sie ihren Körper in zwei klapp-symmetrischen Hälften wahrnehmen. Viele rhythmische Bewegungen und Tänze sind symmetrisch. Symmetrie ist ein wesentliches Bauprinzip unserer Welt und vor allem auch der Lebewesen, und ebenso eine Grundidee der Mathematik. Und Symmetrie ist auch ein ästhetisches Prinzip..

Auch in der Physik ist Symmetrie ein Grundprinzip, zum Beispiel suchen Physiker, wenn sie ein neues subatomares Teilchen oder irgendeine Kraft entdecken, sofort nach dem Antiteilchen bzw. der Gegenkraft.

Eine Möglichkeit, Kindern Symmetrien bewusst zu machen, ist zum Beispiel, ein Symmetrie-Buch anzulegen: symmetrische Dinge fotografieren, auf dem Foto die Symmetrie-Achse(n) einzeichnen und das Ganze in ein Heft oder auf ein Poster kleben. Wir betätigen uns mit ein paar Kindern eine Zeitlang als „Symmetrie-Detektive“.

Es gibt noch viele Möglichkeiten…

Ihre Kreativität ist wieder mal gefragt…

Es gibt auch ein sehr schönes Spielmaterial dazu, siehe:

Interessante Spiele : Spiegeln mit dem Spiegelbuch

Weitere Praxisanregungen zur Symmetrie und zu allen folgenden Grundideen finden Sie in der Liste zu den mathematischen Grundideen.

2) Zahlenbegriff und Stellenwertdarstellung der Zahlen

Nein, die Zahlen schreiben zu können, ist zunächst nicht so wichtig.

Auch ohne diese feinmotorische Fähigkeit beschäftigen sich viele Kinder in ihrem Kopf intensiv mit Zahlen und Mengen und mathematischen Strukturen.

Literaturverzeichnis : Mittring, Gert: Was geht in uns vor, wenn wir rechnen?

Das Zahlen-Schreiben-Können und die erforderlichen feinmotorischen Fähigkeiten sollten keine Barrieren sein, um mit Kindern Mathematik zu machen. (Um zu sprechen, braucht man auch keine Buchstaben.)

Wenn Kinder Zahlen schreiben wollen, dann werden sie es von alleine beharrlich üben, sofern wir ihnen Anschauungsmaterial zur Verfügung stellen: eine Zahlentafel, Zahlen aus Pappe, Holz, Moosgummi oder Plastik, ein Zahlenpuzzle, Magnetzahlen, Zahlen zum Stempeln – was wir davon anbieten, das ist ziemlich egal, weniger ist eher mehr. Wobei jüngere Kinder Zahlen vorziehen, die nicht nur aufgemalt oder aufgedruckt sind, sondern die als Körper erfahrbar sind.

Kinder erarbeiten sich, unabhängig vom Zahlenlesen und –schreiben, früh einen Zahlenbegriff, sie wissen, dass jedes Zahlwort für eine bestimmte Anzahl von Dingen steht.

Achtung: Das ist etwas Anderes, als Zahlwörter nacheinander auswendig aufsagen zu können. Um wirklich etwas abzählen zu können, muss man die Zuordnung (siehe unten) 1 Ding – 1 Zahl kognitiv und rhythmisch (!) bewältigen. Bei ganz jungen Kindern laufen die Rhythmen des Zahlenaufsagens und des Blickens von Ding zu Ding häufig sehr schnell auseinander, und dann stimmt das Ergebnis am Ende eben höchstens zufällig.

Zum Zahlenverständnis gehört auch, dass die Kinder von den konkreten Enten, Teddybären, Bonbons abstrahieren können und die Anzahl dieser Dinge sehen. Dazu gibt es viele Vorschulübungshefte… Etliche hoch begabte Kinder kommen aber mit diesem abstrakten Zahlen-Verständnis bereits in den Kindergarten. Wenn sie zum Beispiel kein Problem damit haben, Würfelpunktzahlen in Spielschritte umzusetzen, ist klar, dass sie über einen abstrakten Zahlenbegriff verfügen.

Was ist also für diese Kinder in ihrer langen Kindergartenzeit interessant?

Zunächst mal immer größere Zahlen. Nicht wenige lernen sehr schnell, sehr weit zu zählen, und interessieren sich auch für die Struktur unseres Zahlensystems (Aufbau in Zehnerschritten) und machen sich darüber ihre Gedanken.

Wollen wir sie damit allein lassen, oder wollen wir sie dabei ein Stück weit als Partner begleiten?

Manche Kinder haben im Vorschulalter Spaß daran (und lernen natürlich viel dabei), in Zweier-, Zehner-, Fünfer- usw. Schritten zu zählen. Sie beschäftigen sich damit, rückwärts zu zählen, sie machen sich über die Beziehungen zwischen Zahlen Gedanken, zum Beispiel über die Fragen: größere – kleinere Zahl, gerade oder ungerade Zahl (nur gerade Zahlen sind durch Zwei teilbar), sie zerlegen Zahlen in kleinere Zahlen oder fügen mehrere Zahlen zu einer größeren Zahl zusammen, das heißt sie fangen an zu rechnen.

Manche Kinder benutzen dazu Hilfsmittel (Steinchen, oder was auch immer), andere vollziehen diese Denkoperationen – ganz abstrakt – nur im Kopf.

Unser Zahlensystem (und das der meisten Menschen auf der Erde) ist ein Zehnersystem (Dezimalsystem), es basiert auf der Zahl 10. Dies hat durchaus damit zu tun, dass wir Menschen 10 Finger haben. Wir zählen im Grunde immer wieder bis 10, und dann geht’s wieder von vorne los, mit dem kleinen Unterschied, dass wir bei jedem zehnten Mal die Ziffer am Anfang um Eins erhöhen.

Irgendwann im Vorschulalter entdeckt das mathematisch besonders begabte Kind noch Folgendes (oder erfasst es zumindest intuitiv): Wenn im vordersten Teil einer Zahl beim Weiterzählen aus der 9 eine 10 wird, dann wird die gesamte Zahl um eine Ziffer länger (von 9 auf 10, von 99 auf 100, von 999 auf 1000). Und so nähert es sich der Frage des Stellenwertes an.

Der nächste Schritt der Erkenntnis liegt nahe: Es ist wichtig, bei einer größeren Zahl den Stellenwert der einzelnen Ziffern zu beachten. Die 3 in 432 ist eigentlich eine 30, die 4 eine 400.

Das ist zunächst mal Alles.

Kein Wunder, dass sich mathematisch hoch begabte (Vorschul-) Kinder dann neuen, schwierigen Fragen zuwenden möchten, zum Beispiel: Was hat es mit Kommazahlen auf sich? Was bedeutet 17,8 Grad?

Was bedeutet 3,98 €? Was bedeutet -7? Was ist ein Achtel? Wie geht Malnehmen?

Siehe auch das Beispiel von Lena im Beitrag: Begriffsbestimmung Hochbegabung

Gibt es eine Kollegin im Team, die Spaß an Zahlenspielereien hat – oder vielleicht sogar Sie selbst??

Bitte, dann spielen Sie auch im Kindergarten mit Zahlen, zusammen mit den Kindern, die sich dafür interessieren.

3) Zuordnung und Funktion

Zuordnungsspiele gibt es im Kindergarten zuhauf. Und Kinder ordnen in einem bestimmten kognitiven Entwicklungsstadium immerzu irgendetwas zu etwas anderem zu: Das ist meins (im Sinne von: das gehört zu mir), das ist deins, das ist die Jacke von Sven, das ist die Mütze von Lina… Sie üben das Zuordnen, es macht ihnen Spaß.

Wenn wir also Zuordnungsspiele, welcher Art auch immer, beobachten oder anbieten, dann sind die Kinder dabei, Ordnung in ihr Wissen zu bringen und so „ganz nebenbei“ mathematisches Grundwissen aufzubauen. Viele bekannte Tischspiele bauen auch auf einer guten Zuordnungsfähigkeit auf (und trainieren sie gleichzeitig).

Dieses erscheint uns einfach – aber die Kinder müssen sich solche Strukturen in ihren ersten Lebensjahren erstmal erarbeiten.

Bei hoch begabten Kindern geschieht auch dieses oft sehr früh. Beispielsweise sprach ein Mädchen im Alter von 1 Jahr 9 Monaten, als es den Schokoladenweihnachtsmann der Großmutter auch noch gern aufgegessen hätte, sich selbst bremsend, die bemerkenswerten Worte: „Nee, das is Omas Puppemann.“

Ein anderes Mädchen äußerte ebenfalls mit 1;9: „Das ist Annas Hammer – nein, Annas Mamas Hammer.“

Zuordnen können ist eine Voraussetzung, um mathematische Funktionen zu begreifen. Dies sind die oft ellenlangen Ausdrücke mit vielen x, y und anderen lateinischen oder griechischen Buchstaben und mit vielen mathematischen Sonderzeichen, die uns Nicht-Mathematikern unverständlich sind.

Aber es gibt auch einfache Funktionen, die sich Kinder bereits im Kindergartenalter handelnd und denkend erarbeiten, ohne die mathematische Schreibweise zu kennen.
Zur Definition der mathematischen Funktion steht bei Wikipedia (15.8.07):

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem „x-Wert“) genau ein Element einer Zielmenge B (einen „y-Wert“) zu. Eine Funktion ist also eine eindeutige Zuordnung und hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Das mag sich für uns Ungeübte erstmal kompliziert lesen. (Und man könnte ja in jeder beliebigen Talkshow in Deutschland Sympathie-Punkte damit machen, wenn man sofort kategorisch erklärt: „Nein, Mathematik habe ich nie verstanden!“).

Nun gibt es ja auch extrem schwierige mathematische Funktionen, an denen 99,99 % aller Menschen verzweifeln würden – aber wir befassen uns ja glücklicherweise mit der Elementarpädagogik, und da geht es um wichtiges Basiswissen .

Jede mathematische Funktion kann als eine Gleichung mit Zahlen und Buchstaben dargestellt werden. Das heißt, auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens kann man etwas tun, zum Beispiel etwas hinzuzählen, aber man muss es auf beiden Seiten tun, damit das Gleichheitszeichen nicht lügt.

Buchstaben werden in Gleichungen benutzt als Platzhalter für etwas Bestimmtes, oder sie können eine unbekannte Größe bezeichnen, die man noch ausrechnen will.

Die obige Definition, angewandt auf das beliebte Spiel „Schuhe in die Mitte!“ würde bedeuten:

Unsere Gruppe besteht aus 25 Kindern – alle spielen mit. In der Sprache der Mathematik sind sie die 25 Elemente einer von uns betrachteten Menge , der so genannten Definitionsmenge („x-Wert“) .

Jedem Kind – also jedem „Element dieser Definitionsmenge“ – soll nun genau ein (und zwar das richtige) Paar Hausschuhe zugeordnet werden. Die 25 Hausschuh-Paare bilden die 25 Elemente unserer Zielmenge („y-Wert“). Dabei wird von den konkreten Kindern und den konkreten Hausschuhen abstrahiert; es geht um die jeweiligen Mengen.

Beide Mengen haben gleich viele Elemente – 25 Kinder haben 25 Paar Hausschuhe. Damit gibt es für jedes Element beider Mengen genau einen passenden „Partner“, eine eindeutige Zuordnung ist also möglich und wir hätten die einfachste Funktionsgleichung überhaupt: y = x

Würden wir verlangen, dass alle Kinder 2 Paar Hausschuhe dabeihaben, dann müssten jedem Kind (Element der Definitionsmenge) zwei Paar Hausschuhe (Elemente der Zielmenge) zugeordnet werden – zweifellos eine etwas schwierigere Aufgabe. Die entsprechende Gleichung lautete y = 2x (gesprochen: Y gleich zweimal X). In Worte übersetzt: Wie viele Hausschuhpaare (y) gibt es, wenn alle Kinder (x) jeweils zwei davon haben? Bei 25 Kindern sind das 50 Hausschuhpaare. Wir haben zwar viel zu wenig Platz dafür, aber einige Kinder könnten sie vermutlich auch dann noch alle richtig den Eigentümern zuordnen.
Der Vorteil dieser Gleichungen mit x und y besteht darin, dass sie eine allgemeine Lösung des Zuordnungs-Problems ermöglichen. y = 2x funktioniert also nicht nur bei 25 Kindern, sondern auch bei 27 oder auch wenn wir die Gesamtzahl der Kinderohren ausrechnen wollen.

Manches mathematisch begabte und mathematisch empfindende Kind fühlt sich übrigens leicht geärgert, wenn Paulchen neben seinen neuen Enten-Hausschuhen auch noch seine zerfledderten Turnschuhe in die Mitte geschmissen hat. Dann geht die Funktion nämlich nicht auf, und die als schön empfundene Ordnung ist zerstört.

Solche einfachen Funktionen gibt es im Kindergarten in jedem Winkel. Jedes Kind hat einen Namen, ein Bildchen an der Garderobe, jedes Kind hat ein Eigentumsfach usw.

Wenn wir nun spaßeshalber und der Mathematik wegen feststellen wollen, auf wie viele Elemente wir kommen, wenn wir von folgenden Besitztümern der Kinder ausgehen: Jedes Kind hat genau:

1 Familiennamen (B), 2 Vornamen (C), 1 Bildchen an der Garderobe (D), 1 Jacke (E) und 2 Handschuhe (F), dann heißt die Funktionsgleichung, wobei y die Gesamtzahl der Elemente ist:

y = 1x B + 2x C + 1x D + 1x E + 2x F = 7x = 175

Wir wissen ja, dass x=25 (Kinder) ist, also ergibt sich ein Wert von y = 175 Besitztümern.

Sind nun drei Handschuhe verloren gegangen und fünf Kinder beschweren sich, weil sie eigentlich nur einen Vornamen haben, dann müssen wir die Gleichung ändern:

y = 1x B + 2x C – 5 + 1x D + 1x E + 2x F – 3 zusammengerechnet ergibt sich:

y = 7x – 8 = 175 – 8 und das sind dann

y = 167 (Besitztümer).

Was soll das Alles? Das kann ich doch auch ohne x ausrechnen!

Jaha, aber als Gleichung geschrieben, sieht es doch gleich viel mehr nach Mathematik aus! Deutlich soll werden: Mathematisches Denken durchzieht unseren gesamten Alltag, auch wenn uns das nicht immer bewusst ist. Und die Kinder ordnen ihr Denken nach Prinzipien, die auch für die Mathematik bedeutsam sind.

An der Gleichung y = a + b + c arbeitete Carolin, 4 Jahre alt, als sie Autos zählte. Die Gesamtzahl der vorbeigefahrenen Autos y war die Summe aus a (Anzahl der roten Autos) + b (Anzahl der weißen Autos) + c (Autos in anderen Farben).

Sie tat das, indem sie zunächst jedes rote Auto einem Kästchen auf ihrem Papier zuordnete, jedes weiße Auto einem anderen Kästchen und „alle übrigen“ Autos einem dritten Kästchen. Dann zählte sie die Teilmengen und danach die Gesamtmenge.

Das Beispiel finden Sie ausführlich beschrieben im Beitrag Passgenaue kognitive Förderung.

Eine interessante Anwendung der Zuordnung ist das Erfinden und Verwenden von Geheimschriften . In der einfachen Version wird jedem Buchstaben unseres Alphabets ein bestimmtes anderes Zeichen zugeordnet. Dies kann sogar wieder ein Buchstabe sein – oder eine Zahl oder ein Bildchen…

Wenn besonders oder hoch begabte Kinder dies kurze Zeit probiert haben, denken sie sich oft kompliziertere Geheimschriften aus: Das Zeichen, das an die Stelle eines Buchstabens tritt, wird nach einer bestimmten Regel gefunden, zum Beispiel: Aus dem A wird ein D, aus dem B wird ein E, aus dem C wird ein F usw. Oder das Alphabet wird einmal vorwärts, einmal rückwärts untereinander geschrieben. Ein hoch begabtes fünfjähriges Mädchen war einmal hoch aufgeregt und glücklich, als es entdeckte, dass es die untere Reihe ja auch völlig willkürlich aufschreiben könnte, zum Beispiel so:

A   B   C   D   E    F   G   H    I   J   K   L   M   N   O   P   Q   R   S   T   U   V   W   X   Y   Z
G  N   W   I   M   F   A    R   L   V   C  Q   U   H   Z    B   K   S    Y   O  X   T    P    D   E   J

„Ich muss dann aber auf meine Tabelle gut aufpassen!“ sagte sie. Besonders vergnüglich fand sie es, dass in ihrer Tabelle das F durch das F ersetzt wird. Eine wirklich raffinierte Idee für eine Fünfjährige!

Manche hoch begabte Kinder denken sich noch weit kompliziertere Systeme aus. Ein sechsjähriger (Kindergarten-) Junge weihte mich einmal in seine gerade erfundene Geheimschrift ein:

Jedem Ausgangsbuchstaben entspricht zunächst eine Zahl: Dem A entspricht die 1, dem B entspricht die 2, dem C entspricht die 3. Alle diese Zahlen werden aber quadriert, das heißt mit sich selbst mal genommen. Sein Name Thomas würde sich dann in der Geheimschrift so lesen:

400 – 64 – 225 – 169 – 1 – 361. Er war mit dem System noch nicht ganz zufrieden:

Er meinte, es würde doch sicherer werden, wenn er die 1 und die anderen kleineren Zahlen durch Primzahlen ersetzte. Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. Er setzte dann für das A die 37, für das B die 83, für das C die 121 und für das häufig vorkommende E die 137. Damit meinte er erstmal genug für die Verschleierung des Prinzips seiner Geheimschrift getan zu haben.

4) Teil-Ganzes-Beziehung

Dreijährige oder noch jüngere Kinder verstehen sehr oft noch nicht, was es bedeutet, wenn gerufen wird: „Kommt mal alle her!“ Entweder reagieren sie gar nicht, oder wenn sie schon eine erste Ahnung vom Begriff „alle“ haben, dann fragen sie: „Ich auch?“ Ihnen ist noch nicht recht klar, dass „alle Kinder“ auch jedes einzelne Kind meint, sie haben noch Probleme mit der Teil-Ganzes-Beziehung. Auch dies ist ein Denkmuster, das jedes Kind erst entwickeln und sich erarbeiten muss und das wiederum viel mit Mathematik zu tun hat.

Um zum Beispiel in der Mengenlehre oder in der Geometrie Schwierigeres zu verstehen, muss diese Basis erst sicher erarbeitet sein.

Selbst die einfachste Summenbildung, wie 3 + 4 = ? gelingt nur auf der (für uns Erwachsene längst selbstverständlich gewordenen) gedanklichen Basis, dass Dinge, Flächen, Mengen in kleinere Einzelteile aufgeteilt oder zu einem größeren Ganzen zusammengefügt werden können.

Ein Kind, das Puzzles zusammenfügt, beschäftigt sich mit der Teil-Ganzes-Beziehung, genauso wie ein Kind, das einen Turm baut oder einen alten Wecker auseinander nimmt. Kinder entdecken, dass es Dinge gibt, die aus gleichen Teilen zusammengefügt sind (zum Beispiel gleich große Tortenstücke auf einer Tortenplatte – das Ganze bedeutet dann nur ein „Mehr davon“), aber auch Vieles, was aus ganz unterschiedlichen Teilen besteht, trotzdem ein Ganzes ergibt, das aber dann eine ganz andere Qualität und einen ganz anderen Gebrauchswert gewinnt (wie zum Beispiel der Wecker).

Komplexes analytisches und synthetisches (im Sinne von Synthesen bildendes) mathematisches Denken findet in diesen kindlichen Entdeckungen wiederum seine notwendige Basis.

5) Algorithmen

Vor diesem aus dem Arabischen stammenden Wort muss man sich nicht fürchten.

Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine genau definierte Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von Problemen in endlich vielen Schritten. (Wikipedia 15.8.07)

Koch- und Backrezepte sind im Prinzip Algorithmen. Dabei ist interessant, dass schwer anzugeben ist, wie ausführlich ein Algorithmus sein muss. Im alltäglichen Leben, bei Rezepten zum Beispiel, wird oft zu viel vorausgesetzt: Im Rezept steht zum Beispiel nicht, dass man den Topf auf den Herd stellen und den Herd anstellen muss, dass man dann beobachten muss, wann die Speise heiß ist, um dann den Herd wieder runterzuschalten… Dort steht nur „erhitzen“.

Dies ist eins der Grundprobleme von Rezepten, Bedienungsanleitungen und Pädagogik: Wie viel kann ich voraussetzen, wie viel muss ich erklären?

Muss ich hinschreiben, dass man den Stecker in die Steckdose stecken muss, um ein elektrisches Gerät in Gang zu bringen? Oder kann ich das voraussetzen? Oder fragt sich der ungeübte Koch bei „erhitzen“ vielleicht hilflos: „Ja, wie denn? In der Pfanne, im Topf, im Backofen, und woran merke ich denn, ob es schon heiß genug ist?“

Ebenso geht es Kindern andauernd: „Wisch mal den Tisch ab!“ Aber was, wenn der Algorithmus für Tischabwischen dem Kind noch gar nicht bekannt ist? Dann hat es keinen Plan und wird vielleicht lustlos und unsicher einmal mit dem Ärmel über den Tisch fahren. Aber wir hatten ganz andere Vorstellungen (einen anderen Algorithmus): Lappen holen (wo?), Lappen nass machen (wo und wie?) und (genügend) ausdrücken, den Tisch frei räumen (wohin mit den Gegenständen?), den Tisch vollständig (gar nicht so einfach) abwischen und evtl. mit einem trockenen Tuch (ebenfalls die ganze Tischfläche) nachwischen. Lappen und Tuch wieder wegräumen (wohin?).

Es ist nicht schlecht, im dritten Lebensjahr das Programm im eigenen Gehirn zu starten: „Wie ich einen Tisch mit einem feuchten Lappen so abwische, dass er hinterher sauber ist.“ Dies kann man später brauchen, wenn man mit 11 Jahren kreativ kochen will, ohne dass die Eltern es wegen völliger Einsauung der Küche fürs nächste Mal verbieten…

Es gibt wenige 11-jährige Kinder, die Lust haben zu lernen, wie man einen Tisch richtig abwischt, mit zwei bis drei Jahren dagegen machen es viele Kinder gern und mit Feuereifer.

Je mehr Jemand schon kann, desto kürzer kann der Algorithmus sein. Dies ist auch bei Computerprogrammen so. „Kennt“ der Computer schon viele hilfreiche Programme, verfügt er zum Beispiel über ein ausgefeiltes Betriebsprogramm mit vielen Unterprogrammen, dann kann das Schreibprogramm darauf aufbauen, indem es auch schon Vorhandenes anpasst und neu kombiniert. Auch mathematische Algorithmen können oft noch kürzer und „eleganter“ werden, je mehr Mathematik der Rechner (egal ob Mensch oder Maschine) schon versteht.

Um souverän und selbstständig handeln zu können (in welchem Bereich auch immer), muss das Kind in seinem Gehirn erst viele, viele einfache Algorithmen einbauen und „verdrahten“, die es dann zu komplexeren Tätigkeiten („Ich decke mal den Tisch und wische ihn vorher schnell ab!“) zusammensetzen kann.

Solche Algorithmen (genauen Ablaufpläne) im Kopf zu haben und ausführen zu können, das bedeutet, über Fähigkeiten und Fertigkeiten zu verfügen. Durch das praktische Ausführen klärt sich der Algorithmus im Kopf; Fehler, Irrwege und Umwege werden eliminiert (wie bei so genannten „Bananenprogrammen“ für den Computer, die so heißen, weil sie erst beim Benutzer reifen). Andererseits führt ein klarer und von Fehlern befreiter Algorithmus zu zügigem Erfolg, er wird häufig sogar weitgehend automatisiert; dadurch wird der Kopf frei für neue Strategien und für kreative Ideen.

Leider passiert hier in vielen Familien viel zu wenig . Das wirkt sich so aus, dass die Kinder schrecklich unselbstständig sind und nur wenig „können“. Andererseits gibt es auch gut geförderte „Könner“, denen alles leicht von der Hand geht, die sich mit drei Jahren ein Brot schmieren können, eine Blume einpflanzen können, die mit fünf Jahren wissen, wie man sicher über eine Straße kommt, die Streit schlichten können, die Spielregeln vereinbaren können, usw.

Planvolles Handeln lernt man nur durch planvolles Handeln. Hier hat der Kindergarten wieder ganz viele Pluspunkte: Den Kindern wird Selbstständigkeit abverlangt, Selbstständigkeit ist hier ein hoher Wert, die Kinder lernen zum Beispiel, mit immer mehr Plan und Übersicht zu bauen und zu basteln… Je mehr die Kinder zum Planen angeregt werden, wozu auch gehört, Pläne den Gegebenheiten anzupassen, das Ergebnis zu kontrollieren, desto besser.

Indem wir gewohnheitsmäßig noch einmal die Arbeitsschritte gemeinsam reflektieren, wenn der Ablauf den Kindern noch nicht wirklich vertraut ist, machen wir die zu Grunde liegenden Algorithmen bewusst und tun damit viel für die Selbstständigkeit und zugleich für die mathematische Grundbildung der Kinder. Kinder, die so früh wie möglich auch zu Hause im Haushalt, im Garten, beim Heimwerken oder bei anderen ergebnisorientierten Tätigkeiten mithelfen dürfen und gut angeleitet werden, sind hier im Vorteil.

Sie erarbeiten sich auch eine notwendige Basis, um später gute Algorithmen ausdenken zu können, zum Beispiel „Wie bereiten wir unsere Hochzeit vor?“ – oder aber auch Computerprogramme, Rezepte oder Bedienungsanleitungen, wobei natürlich andere wichtige Fähigkeiten und Talente hinzukommen müssen.

6) Messung

Was kann man Alles messen? Und wie geht das? Und wozu tut man es?

IHVO-Kursteilnehmerinnen, die sich mit interessierten Kindergartenkindern auf diese Fragen gestürzt haben, waren begeistert, wie intensiv, klug und ausdauernd die Kinder bei der Sache waren.

Vom einfachen (für kleine Kinder ist es natürlich wieder neu) Messen von Längen, Breiten und Höhen ging es weiter zum Gewichte messen, Temperaturen messen, Zeit messen, Rauminhalte messen. Die Messungen gingen über in technisches Bauen und Basteln, in philosophische Fragen (Was ist Zeit? Was ist Unendlichkeit?), in gesundheitsvorsorgerische Maßnahmen (die Kühlschranktemperatur kontrollieren, vorsorglich Fieber messen, ehe der Kindergarten betreten werden darf, diese Schuhe sind zu klein)…

Auch hier ist es wieder eine gute Methode, die einfachen Prinzipien des Messens möglichst vielen Kindern nahe zu bringen, und dann zu gucken: Welche Kinder wollen / brauchen mehr? Dabei funktioniert es oft nicht gut, mit allen Kindern erstmal gaaanz einfach und laaangsaaam zu beginnen und darauf zu vertrauen, dass die schnelleren und wissbegierigeren Kinder das geduldig abwarten und dann noch weitermachen wollen. Oft wandern sie dann äußerlich oder innerlich schon ab.

Als bessere Idee hat sich erwiesen, zunächst mit den (in diesem Bereich) schwächeren Kindern zu beginnen und zu sehen, wie weit sie interessiert sind und wie weit sie gehen können und wollen – und sich dabei auch für die einfachen Dinge die nötige Zeit zu lassen. Mit den (in diesem Bereich) stärkeren (begabteren, schon fähigeren, wissenderen, motivierteren) Kindern kann man dann noch mal gesondert in das Thema starten und die einfachen Dinge im Schnelldurchgang „erledigen“ oder gleich überspringen und sich den schwierigeren Fragen zuwenden.

Zum Beispiel: Wie kann man messen, welcher von zwei etwa gleichgroßen Steinen nun wirklich der größere ist? Was heißt jetzt größer: höher, breiter, oder mehr Masse, mehr Rauminhalt? (Tipp: Wasserverdrängung messen.) Und welcher ist schwerer? (Wenn wir beides, Rauminhalt und Gewicht mehrerer Steine vergleichen, dann führt uns das zur Frage der Dichte.)

Ein Verständnis für Messwerte und Messmethoden zu entwickeln, weitet den Horizont für mathematische Fragen, aber auch für naturwissenschaftliches Forschen.

Messgeräte für die Kita anzuschaffen, die Kinder damit vertraut zu machen und sie für die Kinder zugänglich zu halten, hat sich bewährt. Lineal, Schneider-Maßband, Zollstock, Messbecher, Thermometer (ohne Quecksilber), verschiedene, auch selbstgebaute Uhren (Sonnenuhr, Wasseruhr…), verschiedene Waagen (Küchenwaage, Briefwaage, Marktwaage mit zwei Waagschalen und Gewichten).

Das Alles fasziniert viele Kinder.

Siehe auch: Die Zahlendetektive messen.

7) Näherung, Schätzung

Es gibt bei Sommerfesten manchmal diese interessanten Wettspiele: Wie viele Erbsen / Murmeln / Steinchen sind wohl in diesem Glas? Wer mit seiner Schätzung am nächsten dran ist, gewinnt einen Preis. Oft merken wir dann erst, wie schlecht wir schätzen können. Vielen Menschen sagt es auch wenig, wenn ihnen Jemand Auskunft gibt: „Na, das sind noch so etwa 800 Meter bis zum Bahnhof.“

Alles, was man zählen oder messen kann, kann man auch schätzen: Anzahl, Gewichte, Geschwindigkeiten und Windstärken, Temperaturen, Längen und Entfernungen, Höhen und Tiefen, Helligkeiten, Lautstärken, Festigkeiten von Materialien, Zeitspannen, Formen (das ist ungefähr eine Kugel)…

Was hat das mit Mathematik zu tun, und warum sollen Kinder es lernen?

Es ist sinnvoll, möglichst früh ein Gefühl für Geschwindigkeiten, für Mengen usw. zu entwickeln. Es erleichtert die Orientierung und gibt Sicherheit im Handeln. Wüsste ich, dass der Auskunftgeber (800 Meter bis zum Bahnhof) sich in der Stadt auskennt und gut Entfernungen schätzen kann, und wüsste ich noch, wie viele Meter ich ungefähr in 1 Minute gehen kann, dann könnte ich schnell schätzen, ob ich mich entspannen kann oder ob ich lieber rennen sollte, um den Zug noch zu kriegen.

Auch ist es hilfreich, wenn man überschlagsmäßig berechnen kann, wie viel ungefähr die Rechnung im Restaurant betragen könnte, um eventuelle größere Irrtümer sofort zu bemerken. Größenordnungen einschätzen zu können, ist im alltäglichen häufig wichtig und nützlich.

Aber auch die wissenschaftliche Mathematik, die Wirtschaftsmathematik, die Statistik usw. arbeiten mit Schätzungen und Näherungen, dies spart oft viel Zeit und Geld ein und führt oft zu hinreichend guten Ergebnissen.

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Was hoch begabte Vorschulkinder an der Mathematik auch früh interessiert:

Pläne (Stadtpläne, Landkarten, Konstruktionspläne…) lesen;

eben Alles, wo man sich auf recht abstakte Weise orientiert, um sich in der konkreten Wirklichkeit besser zurecht zu finden.
Natürlich ist auch das Ausdenken und Zeichnen von Plänen und Skizzen für viele hoch begabte Vorschulkinder hochinteressant und hoch lehrreich.
Näheres dazu Pläne, Zeichnungen, Skizzen, Mind-Maps

Über Wahrscheinlichkeiten und über den Zufall nachdenken.

Das Konzept Zufall ist für kleine Kinder recht schwierig zu begreifen. Haben sie doch genug damit zu tun gehabt, erstmal zu verstehen, dass es offenbar für Alles eine Ursache gibt und das Geschehen in der Welt aus Ursachen und ihren Wirkungen zusammengesetzt ist. Und so neigen sie nun auch erst mal dazu, auch für zufällige Ereignisse Jemandem „die Schuld“ zu geben. Irgendwann zündet dann die nächste Stufe der geistigen Entwicklung und das Kind begreift, dass es Dinge gibt, die zufällig geschehen, das heißt auch schwer vorhersehbar und nicht beeinflussbar sind. Zufällige Ereignisse kann man nur abwarten.
Siehe auch: Beispiel für großes Interesse an Systematik und logischen Zusammenhängen. (Das Beispiel von Daniel und dem Adventskalender, veröffentlicht am 30.10.08.)

Wenn ein Kind sehr früh, etwa mit drei bis vier Jahren, bereits über ein solches Programm verfügt, kann dies dazu führen, dass es von seiner Umwelt als besonders ängstlich wahrgenommen wird. Näheres dazu unter Ängstlichkeit und Vor-Sicht bei hoch begabten Kindern .

Die Null.

Die Null ist noch jung. Inder, Babylonier, Ägypter, Chinesen, Griechen und andere Völker kannten schon vor etlichen tausend Jahren Zahlen und hatten eine hohe Mathematik entwickelt. Aber die Null wurde erst um 500 unserer Zeitrechnung erfunden. Erst im 11. Jahrhundert wurde sie allmählich in Europa bekannt.

Was an der Null so schwierig ist, lässt sich bei hoch begabten Vorschulkindern nicht ausmachen: Sie gehen mit der Null ganz locker um. Erst wenn sie zum Dividieren (Teilen) kommen, wird es spannend, denn durch Null teilen „geht nicht“. Man erhält jedenfalls keine bestimmte Zahl als Ergebnis, sondern das Ergebnis ist immer unendlich.

Tipp:

Im Museum „Arithmeum“ in Bonn (mit guten Kinderführungen, auch für an Zahlen und am Rechnen interessierte ältere Kindergartenkinder geeignet) kann man viel über die Geschichte und die Techniken des Rechnens erfahren.

http://www.arithmeum.uni-bonn.de/

Bilderbücher / Kindersachbücher zum Thema Zahlen und Mathematik:

Zahlenmärchen.

Von Ida Fleiß und Gert Mittring. Wagner Verlag.

Es gibt inzwischen etliche Bilderbücher, die sich mit dem Zahlenraum von 1 bis 10 befassen, den sich hoch begabte Kinder oft schon im zweiten und dritten Lebensjahr erobern. Dieses Buch greift weiter und höher und ist dementsprechend auch für Mathe-Spezis unter den älteren Vorschulkindern interessant.

Es ist ein Märchenbuch, das im Zahlenland spielt. Die Kinder werden von Gert, dem Weltrekordler im Kopfrechnen, zu einem interessanten Ausflug eingeladen. Sie besuchen die Zahlenklinik, die Zeichenfabrik, das Café mit Ziffernkaffee und Wurzeltorte, sie fahren nach Neunerstadt und besuchen dort das Zahlenmuseum und schließlich gelangen sie noch zur Zahlenhöhle.

Während der Zugfahrten von Ort zu Ort hören sie spannende Märchen:

Die Zahlenspinne

Wie die Drei liebe Freundinnen fand

Der verliebte Dino

Das Märchen vom König Teilbarkeit dem Zweiten

Das Geheimnis der tanzenden 8

Der Träumeverkäufer

Der Teufel und die Zahlenhexe

Das Märchen von der schlauen 5

… und immer geht es um Zahlen.

Jedes Märchen kann für sich (vor)gelesen werden, ebenso jede Station auf der Reise. So können sich Kinder den Inhalt des Buches auch nach und nach erschließen.

Ein Buch für Kindergarten- und Grundschulkinder, die Zahlen als Freunde betrachten und sich aus eigenem Antrieb viel mit ihnen befassen.

Das Bilderbuch von den Zahlen

von Rolf und Margret Rettich, Ravensburger Verlag

Dies ist ein Bilderbuch für den Zahlenraum von 1 bis 10, daher vielleicht für junge hoch begabte Vorschulkinder interessant.

Kindergartenspaß mit Willi Wiesel. Zählen und Tüfteln.

Ensslin Verlag.

Ein Arbeitsheft zum Zählen und Ausmalen. Umfasst ebenfalls nur den Zahlenraum von 1 bis 10. Also: Nicht zu spät damit ankommen!

Komm mit ins Zahlenland. Eine spielerische Entdeckungsreise in die Welt der Mathematik

von Gerhard Friedrich und Viola de Galgóczy.

Ein didaktisch aufbereitetes Spiele- und Geschichtenbuch für den Zahlenraum von 1 bis 10. Gut geeignet für den Kindergarten. Für zwei- bis vierjährige Hochbegabte interessant, wenn sie grade dabei sind, den Zahlenraum bis 10 zu begreifen, danach vermutlich nicht mehr spannend.

Was ist Was, Band 12: Mathematik

Tessloff Verlag

Das Buch enthält viele gute Abbildungen und Erklärungen, auch zum Nachlesen für die Erzieherin wichtig

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Datum der Veröffentlichung 4.9.07 /Version März 2011